Question

如图，在?ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°，BE=2，CF=1，DE交AF于点G．
（1）求?ABCD的面积；
（2）求证：△AEG是等边三角形．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：几何综合题

分析：（1）求出AB=2BE=4，AE=

AB2-BE2

=2

3

，根据平行四边形的性质得出AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，求出DF=3，求出AD的长，即可得出BC，根据面积公式求出即可；     
（2）求出∠BAD=∠C=120°，∠EAF=60°，求出EC=CD=4，得出∠2=∠3=

1

2

（180°-∠C）=30°，求出∠AEG=90°-∠2=60°，根据等边三角形的判定得出即可．

解答：（1）解：∵在Rt△AEB中，∠1=30°，BE=2，
∴∠B=60°，AB=2BE=4，
∴AE=

AB2-BE2

=2

3

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，
∵CF=1，
∴DF=3，
∴在Rt△ADF中，∠DAF=90°-60°=30°，则AD=2DF=6，
∴BC=6，
∴S_{平行四边形ABCD}=BC×AE=6×2

3

=12

3

；   
  
（2）证明：由（1）知：∠DAF=30°，∠BAD=180°-∠B=120°，
即∠C=120°，
∴∠EAF=∠BAD-∠1-∠DAF=60°，
∵BC=6，BE=2，
∴EC=BC-BE=4=CD，
∴∠2=∠3=

1

2

（180°-∠C）=30°，
∴∠AEG=90°-∠2=60°，
∴∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等边三角形

点评：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．