Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求的长．

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：(1)根据所给的三角形AME的三边数据，结合勾股定理逆定理可判断出三角形AME是直角三角形，即∠AEM=90°，再根据两直线平行，同位角相等，可得∠B=90°，根据切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.可证得BC是圆O的切线.(2)连接OM,根据正弦函数的定义sin∠A=,可求出∠A=30°，根据圆周角定理，可求出∠EOM=60°，在△OME中，根据正弦函数的定义sin∠EOM=,可求出OM的值，知道了扇形的半径和圆心角，利用弧长公式即可求出胡BM的长.
试题解析：（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME²+AE²=AM²=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM．
在Rt△AEM中，sinA==，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴=，EN=EM=1，
∴∠BOM=2∠A=60°．
在Rt△OEM中，sin∠EOM=，
∴OM=，（1分）
∴的长度是：•=．