Question

9．已知：如图，△ABC中，AC=8，点D在AB边上，且AD=BD=CD=5，在△ABC外，作等边△ACE．
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）求四边形ABCE的周长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BC，再由等边三角形的性质即可得出结果．

解答 解：（1）结论：△ABC的是直角三角形；
∵AD=BD=CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，…（2分）
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）在直角三角形△ABC中，AC=8，AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
又∵△ACE是等边三角形．
∴AE=CE=8，
∴四边形ABCE的周长为AB+BC+AE+CE=32．

点评 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．