已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A.B.与y轴相交于点C.顶点坐标为($\frac{3}{2}$.-$\frac{25}{4}a$).连接AC．(1)如图1.若AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$AB.求a的值,(2)如图2.点D为抛物线上的点.连接AD.若∠DAB=∠CAB.求点D到抛物线对称轴的距离,的条件下.点E在x轴的负半轴上.点F在第一象限� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}a$），连接AC．
（1）如图1，若AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$AB，求a的值；
（2）如图2，点D为抛物线上的点（不与点C重合），连接AD，若∠DAB=∠CAB，求点D到抛物线对称轴的距离；
（3）在（1）和（2）的条件下，点E在x轴的负半轴上，点F在第一象限的抛物线上，连接EF与AD的延长线相交于点G，过点F作AD的垂线，与x轴相交于点H，当AE=16，FH=AG时，求EH长．

分析（1）根据顶点坐标，可得c与a的关系，根据函数值为零，可得A、B点坐标，根据勾股定理，可得OC的长，根据OC的长，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据顶点坐标，可得抛物线的对称轴，根据等角的正切值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得D点的横坐标，根据点到直线的距离，可得答案；
（3）根据余角的性质，可得∠GAM与∠HFN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AM与FN的关系，GM与HN的关系，根据等角的正切值相等，可得AM与GM的关系，根据比例的性质，可得EM与EN的关系，根据线段的和差，可得ON的长，根据图象上的点满足函数解析式，可得n的值，根据线段的和差，可得答案．

解答解：（1）∵抛物线顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$a），
∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴b=-3a
∴$\frac{9}{4}$a+$\frac{3}{2}$（-3a）+c=-$\frac{25}{4}$a，
∴c=-4a
∴y=ax²-3ax-4a，C（0，-4a），
∴OC=4a．
当y=0时，ax²-3ax-4a=0，
∵a≠0∴x²-3x-4=0，
∴x₁=4，x₂=-1，
∴A（4，0）B（-1，0），
∴AB=5
∴AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$AB=2$\sqrt{5}$，
∵∠AOC=90°，
∴OC²+OA²=AC²，
∴OC=2，
∴4a=2，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）如图1过点D作DK⊥x轴于K，
∴∠DKA=90° 令点D坐标为（m，am²-3am-4a），
对称轴为x=$\frac{3}{2}$．
∴AK=4-m，DK=am²-3am-4a．
∵∠AOC=90°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=a
∵∠DAK=∠OAC，
∴tan∠OAC=tan∠DAK=$\frac{DK}{AK}$=a．
∴am²-3am-4a=a（4-m）．
∵a≠0，
∴m²-2m-8=0
∴m₁=4（舍），m₂=-2
∴点D到抛物线对称轴的距离为$\frac{3}{2}$-（-2）=$\frac{7}{2}$．
（3）如图2，
过点G作GM⊥x轴于M，过点F作FN⊥x轴于N．
∴∠GMA=∠FNH=90°，
∠FHN+∠HFN=90°，
∵FH⊥AG，
∴∠FHN+∠GAM=90°
∴∠GAM=∠HFN，
在△AGM和△FHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAM=HFN}\\{∠AMG=∠FNH}\\{AG=FH}\end{array}\right.$，
∴△AGM≌△FHN （AAS）
∴AM=FN，GM=HN．
∵a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，OC=2，
∵∠GAM=∠OAC，
∴tan∠GAM=tan∠OAC
∴$\frac{GM}{AM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=2GM．
设GM=n，则HN=n，FN=AM=2n．
∵tan∠GEM=$\frac{GM}{EM}$=$\frac{FN}{EN}$，
∴$\frac{EN}{EM}$=$\frac{FN}{GM}$=2，
∵AE=16
∴EM=AE-AM=16-2n，
∴EN=2EM=32-4n，
∴AN=EN-AE=16-4n，
∴ON=OA+AN=20-4n，
∴F（20-4n，2n），
∴$\frac{1}{2}$（20-4n）²-$\frac{3}{2}$（20-4n）-2=2n，
∴n₁=6（舍），n₂=$\frac{7}{2}$，
∴EH=EN-HN=32-5n=$\frac{29}{2}$．