Question

如图，在Rt△ABC中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一动点，PE⊥AO于点E，PF⊥BO于点F，设PE=x，矩形PFOE的面积为s．
（1）求出s与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当s=12时，求矩形PFOE的两邻边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,一元二次方程的应用,根据实际问题列二次函数关系式

专题：

分析：（1）根据矩形的对边相等可得OF=PE=x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，
∵AO=8，BO=6，
∴tanB=

AO

BO

=

PF

BF

即：

8

6

=

PF

6-x

，
解得PF=

4

3

(6-x)，
∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•

4

3

(6-x)=-

4

3

x2+8x
即S=-

4

3

x2+8x
（2）∵S=-

4

3

x2+8x=-

4

3

(x-3)2+12
∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是12．

点评：本题主要考查了二次函数的最值问题，矩形的性质与锐角的正切的利用，（2）把二次函数的解析式转互为顶点式形式是解题的关键．