题目内容

已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）．
（Ⅰ）试求该抛物线与x轴是否相交？
（Ⅱ）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交点为C，试判断∠ABC的大小与m的取值有何关系？
（Ⅲ）设抛物线的顶点为P，PD⊥x轴，点D为垂足，若S△ABC=3S△ABP，试判断PA与BC的位置关系，并说明理由；
（Ⅳ）在（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的条件下，若y轴正半轴上有一点N，使以A，O，N为顶点的三角形与以P、A、D为顶点的三角形相似，求N点的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（Ⅰ）该抛物线与x轴是相交，只要计算b2-4ac的值，可知其大于0，所以抛物线和x轴相交；
（Ⅱ）∠ABC的大小与m的取值无关，易求OA，OB，OC的长，再计算tan∠ABC的值，可得为定值2，所以∠ABC的大小和m的值无关；
（Ⅲ）PA与BC的位置关系是PA∥BC，根据已知条件可证明△BOC∽△ADP，由相似三角形的性质可得：∠OBC=∠DAP，所以PA∥BC；
（Ⅳ）以A，O，N为顶点的三角形与以P、A、D为顶点的三角形相似时，对应边不确定，所以要分两种情况分别讨论，求出符合题意N的坐标即可．
解答：解：（Ⅰ）该抛物线与x轴是相交，理由如下：
∵b2-4ac=（m2+8）2-8（m2+6）=（m2+4）2＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．                                        
（Ⅱ）∠ABC的大小与m的取值无关，理由如下：
∵方程x2-（m2+8）x+2（m2+6）=0的两根为x1=2，x2=m2+6，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），
∴OA=2，OB=m2+6，OC=2（m2+6），
∴tan∠ABC=
OC
OB
=
2(m2+6)
m2+6
=2，
∴∠ABC的大小与m的取值无关．                                   
（Ⅲ）如图，∵S△ABC=3S△ABP，
∴
1
2
AB•OC=
3
2
AB|PD|，
∴OC=3|PD|，
即2（m2+6）=3|
-(m2+4)2
4
|，
化简，得m2（3m2+16）=0，
∵3m2+16=0无解，
∴m=0，
∴当m=0时，y=x2-8x+12，
∴A（2，0）B（6，0），C（0，12），
∴AD=2，PD=4，OB=6，OC=12，
∴
OB
DA
=
OC
DP
=3，
∵∠BOC=∠ADP，
∴△BOC∽△ADP，
∴∠OBC=∠DAP，
∴PA∥BC．                                    
（Ⅳ）①若△NOA∽△PDA，则
OA
DA
=
ON
DP
，
即
2
2
=
ON
4
，
解得：ON=4，
∴N（0，4），
②若△NOA∽△ADP，则
ON
DA
=
OA
DP
，
即
ON
2
=
2
4
，
解得：NO=1，
∴N（0，1）．
点评：此题考查了抛物线解析式的确定、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形面积的求法等重要知识点，（Ⅳ）小题中，用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
练习册系列答案
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如图，菱形ABCD的边长为15cm，对角线AC=24cm，DH⊥AB于H，则DH的长为（　　）
A、14.4cm
B、16.2cm
C、15.4cm
D、18.2cm
如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为
 
；若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函数解析式为
 
．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=
10
，直接写出l，P表示的函数解析式．
计算：|
3
-
5
|-（
327
2
-
36
）（
3
≈1.732，
5
≈2.236，精确到0.01）
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（1）求点B的坐标；
（2）点A（x，y）是直线y=2x-1上的一个动点，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探究：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积为
1
4
，并说明理由．
②在①成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形；若存在，请直接写出满足条件的所有P的坐标；若不存在，请说明理由．
计算：
1
4
-
3-27
+|
1
2
-
32+42
|．
已知一次函数y=kx+b，当x=2时，y=-3，当x=1时，y=-1．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图形交x轴y轴分别于A、B两点，求△ABO的面积．
观察下面图形，解答下列问题：

（1）观察规律，把下表填写完整：
边数 三 四 五 六 七 … n
对角线条数 0 2 5
 
 
 …
 
（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是
 
．
①BC=AC；  ②CF⊥BF；  ③BD=DF；  ④AC=BF．

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