Question

如图，直线y=2x-1与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）求点B的坐标；
（2）点A（x，y）是直线y=2x-1上的一个动点，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探究：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积为

1

4

，并说明理由．
②在①成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形；若存在，请直接写出满足条件的所有P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）求出y=0时x的值即可得出B点坐标；
（2）根据OB=

1

2

，S_△AOB=

1

2

OB•|y|即可得出结论；
（3）①先根据（2）中三角形的面积公式求出x的值，故可得出A点坐标；
②根据OA=OP，OA=AP及OP=AP三种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵当y=0时，x=

1

2

，
∴B（

1

2

，0）；

（2）∵OB=

1

2

，点A（x，y）是直线y=2x-1上的一个动点，
∴|y|=|2x-1|，
∴S_△AOB=

1

2

OB•|y|=

1

4

|2x-1|，
①当2x-1≥0，即x≥

1

2

时，S=

1

2

x-

1

4

（x≥

1

2

）；
②当2x-1＜0，即x＜

1

2

时，S=

1

4

-

1

2

x（x＜

1

2

）．

（3）①

1

2

x-

1

4

=

1

4

或

1

4

-

1

2

x=

1

4

，解得x=1或x=0．
∴A（1，1）或A（0，-1）时S_△AOB=

1

4

．
②A（1，1）时，如图1所示，
若OA=OP，
∵OA=

2

，∴OP=±

2

，即P₁（-

2

，0），P₂（

2

，0）；
若OA=AP，∵A（1，1），∴P（2，0）；
若OP=AP，设P（x，0），则|x|=（x-1）²+1²，
解得x=1或x=2，
∴P（1，0），（2，0）；
当A（0，-1）时，如图2所示，点A与点C重合，
故P（±1，0）
存在这样的P点有P₁（-

2

，0），P₂（

2

，0），P₃（1，0），P₄（2，0），P₅（-1，0），

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度适中．