Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PN∥BC分别交BD，CD于点M,N，连接QM，QN．设运动时间为．解答下列问题：

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积为菱形面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（4）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，当时，的面积为菱形面积的；（4）存在，若时，；若时，；若时，

【解析】

（1）连接，证明得到，根据垂直平分线的性质得出，求出t的值即可；

（2）过点作，垂足为，交于点，由菱形的性质求出，证明，得，再求出，根据三角形面积公式即可得出结论；

（3）假设存在某一时刻，根据的面积为菱形面积的列方程求解即可；

（4）分，，三种情况分别求解即可

解：（1）连接

∴∴

∵∴

∴∴∴

若点在线段的垂直平分线上

∴∴∴

∴当时，点在线段的垂直平分线上．

（2）过点作，垂足为，交于点．

∵

∴

连接，交于点，根据题意，

∴

菱形面积：

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵

∴的高等于

∵四边形是菱形

∴，

∴

∴

∴与的函数关系式是．

（3）假设存在某一时刻，使的面积为菱形面积的，

则

解得，，（不合题意，舍去）

答：当时，的面积为菱形面积的．

（4）若时，

由（2）得

由题意得，，

∴过Q作于点G，

∵，

∴

在中，

∴；

若时，

过N作于J，如图，

则，

而

∴；

若时，，

∴．