Question

如图，正方形DEFG的顶点D、E两点分别在正三角形ABC的边AB、BC上，且BD=BE．若AB=18，BE：EC=1：2，则点G到BC的距离为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：过点G作DM⊥BC于M，过点F作DH⊥BC于H，作FN⊥GM于N，判断出四边形MHFN是矩形，根据矩形的对边相等可得MN=FH，先判断出△BDE是等边三角形，然后求出BE、∠BED，再求出∠CEF=30°，再求出∠FGN=∠CEF，然后分别求出FH、GN，然后根据GM=GN+MN代入数据计算即可得解．

解答：解：如图，过点G作DM⊥BC于M，过点F作DH⊥BC于H，作FN⊥GM于N，
∴四边形MHFN是矩形，
∴MN=FH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=DE，∠BED=60°，
∵AB=18，BE：EC=1：2，
∴BE=18×

1

1+2

=6，
∴∠CEF=180°-60°-90°=30°，
∴∠FGN=∠CEF=30°，
在Rt△EFH中，FH=

1

2

EF=

1

2

×6=3，
在Rt△GFN中，GN=

3

2

×6=3

3

，
∴GM=GN+MN=3

3

+3，
即点G到BC的距离为3

3

+3．
故答案为：3

3

+3．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，难点在于作辅助线构造出含30°角的直角三角形．