Question

【题目】已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N .

（1）写出图中的全等三角形. 设CP= ，AM= ，写出与的函数关系式；

（2）试判断∠BMP是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当CM=1时， .

【解析】试题分析：（1）由折叠的性质可得：△MBN≌△MPN，即可得MB=MP，又由四边形ABCD是矩形，可得AB=CD，∠A=∠D=90°，然后分别在Rt△ABM与Rt△DMP中，利用勾股定理，可得MB2=AM2+AB2=y2+4，MP2=MD2+PD2=2+2，继而求得y与x的函数关系式；
（2）若∠BMP=90°，可证得△ABM≌△DMP，即可得AM=DP，AB=DM，则可求得CP的长．

试题解析：（1）⊿MBN≌⊿MPN .

∵⊿MBN≌⊿MPN，

∴MB=MP，

∴.

∵矩形ABCD，

∴AD=CD (矩形的对边相等)，

∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) .

∵AD=3， CD=2， CP=x， AM=y，

∴DP=2-x， MD=3-y .

在Rt⊿ABM中，

.

同理 .

.

∴ .

（2）

当时，

可证.

∴ AM=CP，AB=DM.

∴.

∴ .

∴当CM=1时， .