Question

【题目】数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：

AE DB(填“＞”，“＜”或“＝”)．

图1 图2

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“＝”)．

理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.

(请你完成以下解答过程)

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，过程见解析；（3）CD的长是1或3．

【解析】试题分析：（1）根据△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，即可得出CE⊥AB，进而得出∠ECB=∠D=∠DEB=30°，即可得出线段AE与DB的大小关系；

（2）首先得出BE=CF，进而得出∠EDB=∠ECB，∠BED=∠FCE，进而利用△DBE≌△EFC即可得出答案；

（3）分两种情况进行讨论，①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上；②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上.

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，

∴∠ABC=60°，CE⊥AB，

∴AE=BE，

∴∠ECB=∠D=∠DEB=30°，

∴AE=DB，

故答案为：=；

（2） 在等边△ABC中，

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC(SAS)

∴DB=EF，

∴AE=BD，

故答案为：=；

（3）CD的长是1或3．

参考做法如下：

当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，

过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，

∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=CD，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，

∴∠BEF=30°，

∵BE=AB+AE=1+2=3，

∴FB=EB=，

∴CF=FB-BC=，

则CD=2CF=1；

当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，

过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，

∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=CD，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠BEF=30°，

∵BE=AE-AB=2-1=1，

∴FB=BE=，

∴CF=BC+FB=，

则CD=2CF=3，

综上，CD的值为1或3．

图1 图2