Question

18．已知△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）用尺规在图1中作出△ABC的外接圆，在图2中作出△ABC的内切圆．
（2）△ABC的外接圆半径为2.5，内切圆半径为1．

Answer 1

分析 （1）首先作出AC、BC的垂直平分线，两线的交点O就是外接圆圆心，再以O为圆心AO长为半径画圆即可；作出∠A、∠B的角平分线，两线的交点M就是内切圆圆心，再过点M作BC的垂线，交BC于N，再以M为圆心，MN的长为半径画圆即可；
（2）利用勾股定理计算出AB的长，进而可得外接圆半径；设△ABC内切圆的半径为r，由于Rt△ABC的面积为$\frac{1}{2}$AC•CB=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）×r，从而求得r的值

解答 解：（1）如图所示：

（2）∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AO=BO，
∴AO=2.5；
设△ABC内切圆的半径为r，连接CM，
由于Rt△ABC的面积为$\frac{1}{2}×AC×CB$=$\frac{1}{2}×3×4$=6，
则由Rt△ABC的面积为S_△ABM+S_△BMC+S_△AMC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）×r=$\frac{1}{2}$×（3+4+5）×r，
$\frac{1}{2}$×（3+4+5）×r=6，
解得r=1．
故答案为：2.5；1．

点评 此题主要考查了复杂作图，以及求内切圆和外接圆的半径，关键是正确确定内切圆和外接圆的圆心位置．