Question

8．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．垂足为D，点E是边AC的中点，联结ED并延长ED交CB的延长线于点F．
（1）求证；△FBD∽△FDC；
（2）求证：$\frac{FD}{FC}$=$\frac{BC}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AB，E是AC的中点，可得ED=EA，又由等边对等角，可得∠A=∠1，易得∠2=∠A，即可得到∠FBD=∠FDC，则可证得△FBD∽△FDC；
（2）通过△FBD∽△FDC，推出$\frac{FD}{FC}=\frac{BD}{CD}$，通过△BCD∽△ACD，推出$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{AC}$，等量代换即可得到$\frac{FD}{FC}$结论．

解答 证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴ED=EA，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2，
∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FBD=∠FDC，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC；

（2）∵△FBD∽△FDC，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{BD}{CD}$，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠DBC+∠BCD=∠DBC+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△ACD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{FD}{FC}$=$\frac{BC}{AC}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．