Question

5．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）根据CD切⊙O于点D，得出CD⊥OD，再根据AB=2CA，求出∠C=30°，即可得出答案；
（2）连接AD，证得△DAO是等边三角形，求出DA=r=2，再根据勾股定理可求得BD的长．

解答 解：（1）∵CD切⊙O于点D，
∴CD⊥OD，
又∵AB=2AC，
∴OD=AO=AC=$\frac{1}{2}$CO
∴∠C=30°
∴tan∠C=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DOA=90°-30°=60°，
又∵OD=OA，
∴△DAO是等边三角形．
∴DA=r=2，
∴DB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，得出直角三角形．