Question

18．△ABC为等边三角形，点M是边BC上一点，点N是边CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，NH⊥AM，垂足为H．
（1）求∠AQN的度数．
（2）若BQ=3，HQ=2，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质求得AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，由SAS证明△ABM≌△BCN，则∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，所以∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．
（2）在Rt△NHQ中，∠AQN=60°，HQ=2，可求出QN=4，所以AM=BN=BQ+NQ=7．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，
∵NH⊥AM，∠AQN=60°，HQ=2，
∴QN=4，
∵BQ=3，
∴AM=BN=BQ+NQ=7．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．