Question

9．如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AF=AB，AC与FD交于点G，∠FAB的角平分线交FG于点H，过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I，若AH=3AI，FH=2$\sqrt{2}$，则DG=$\frac{17}{4}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作FM⊥AH于M，AN⊥DF于N．首先证明△AMF≌△DIA，推出FM=AI，再证明∠IHD=∠IDH=45°，由FH=2$\sqrt{2}$，推出FM=HM=2，AM=8，AF=2$\sqrt{17}$，想办法求出AN、AE、DE即可解决问题．

解答 解：如图，作FM⊥AH于M，AN⊥DF于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DI⊥AH，
∴∠I=90°，
∴∠HAE+∠IAD=90°，∠IAD+∠IDA=90°，
∴∠HAE=∠IDA=∠FAM，
在△AMF和△DIA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠I=90°}\\{∠FAM=∠IDA}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△DIA，
∴FM=AI，
∵∠IHD=∠AFH+∠FAH，∠IDH=∠ADI+∠ADF，
∵AF=AD，
∴∠AFH=∠ADF，
∴∠IHD=∠IDH=45°，
∴∠FHM=∠IHD=∠MFH=45°，
∴FM=HM，
∵FH=2$\sqrt{2}$，
∴MF=MH=2，AH=3AI=3FM=6，
∴AM=8，AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∵$\frac{1}{2}$•AH•FM=$\frac{1}{2}$•FH•AN，
AN=$\frac{AH•FM}{FH}$=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ADN中，DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{17}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
由cos∠ADN=$\frac{DN}{AD}$=$\frac{AD}{DE}$，得到DE=$\frac{34}{5}$$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{17}$，
∵AE∥CD，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{CD}{AE}$，
∴$\frac{DG}{\frac{34}{5}\sqrt{2}-DG}$=$\frac{2\sqrt{17}}{\frac{6}{5}\sqrt{17}}$，
∴DG=$\frac{17}{4}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用面积法求高，属于中考常考题型．