题目内容

数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=2，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．联结OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=4，CD=3，AD=2”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）根据正方形的性质得OB=OD，易知OM∥DC，求得OM与CM的长，再根据平行线分线段成比例定理即可得解；
（2）根据平行四边形的性质得OB=OD，作OM∥CD，求得OM与CM的长，再根据平行线分线段成比例定理即可得解；
（3）AD∥BC，
BO
OD
=
BC
AD
=
4
2
，
BO
BD
=
4
4+2
=
4
6
=
2
3
．过点O作ON∥CD，交BC于点N，由平行线分线段成比例定理求得ON=2，BN=
8
3
，CN=4-
8
3
=
4
3
，所以EN=x+
4
3
，再由
CF
ON
=
CE
EN
即可求出y关于x的函数解析式．
解答：解：（1）过点O作OM⊥BC，垂足为M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=
1
2
DC=1，CM=
1
2
BC=1．
∵OM∥DC，
∴
CF
OM
=
CE
EM
，
即
y
1
=
x
x+1
，
解得y=
x
x+1
，定义域为x＞0．
（2）作OM∥CD，交CD于点M．

∵四边形ABCD是平行四边形形，
∴OB=OD．
∵OM∥CD，
∴OM=
1
2
DC=1，CM=
1
2
BC=
3
2
．
∵OM∥DC，
∴
CF
OM
=
CE
EM
，
即
y
1
=
x
x+
3
2
，解得y=
2x
2x+3
，定义域为x＞0；
（3）AD∥BC，
BO
OD
=
BC
AD
=
4
2
，
BO
BD
=
4
4+2
=
4
6
=
2
3
．
过点O作ON∥CD，交BC于点N，

∴
ON
DC
=
BO
BD
，
∴ON=2．
∵ON∥CD，
BN
BC
=
ON
CD
=
2
3
，
∴BN=
8
3
，
∴CN=4-
8
3
=
4
3
，
∴EN=x+
4
3
．
∵ON∥CD，
∴
CF
ON
=
CE
EN
，即
y
2
=
x
x+
4
3
．
∴y=
6x
3x+4

∴y关于x的函数解析式为y=
6x
3x+4
（x＞0）．
点评：本题主要考查了四边形的综合应用，用到正方形、平行四边形、梯形的性质以及平行线分线段成比例定理，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为
 
；若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函数解析式为
 
．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=
10
，直接写出l，P表示的函数解析式．
已知一次函数y=kx+b，当x=2时，y=-3，当x=1时，y=-1．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图形交x轴y轴分别于A、B两点，求△ABO的面积．
观察下面图形，解答下列问题：

（1）观察规律，把下表填写完整：
边数 三 四 五 六 七 … n
对角线条数 0 2 5
 
 
 …
 
（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
计算
（1）
1
2
24
-
4
3
18
÷（2
8
×
1
3
54
）；
（2）
4
2
(
2
+1)
(
7
+
3
)(
7
-
3
)
．
如图，已知，∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°，
（1）求证：MD∥NE．
（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．
如图，直线y=-
1
2
x+4与x轴与y轴分别交于点A、C，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C两点，且对称轴是直线x=
5
2
，过点C作CB∥x轴交该抛物线于点B，抛物线与x轴的另一交点是D，连结AB．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）求证：CA平分∠BAD；
（3）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发．其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着线段0A向A点运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿着线段AB向B点运动．设这两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t＜4），△PQA的面积记为S．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
③直线AC能否垂直平分线段PQ？若能，请直接写出此时t的值；若不能，请说明理由．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是
 
．
①BC=AC；  ②CF⊥BF；  ③BD=DF；  ④AC=BF．
比较大小（填“＞”“＜”“=”）：
（1）4
 
365
；
（2）
52
 
7．

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