Question

15．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①BE=BC；  ②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；    ③点P运动了18秒；   ④当t=$\frac{27}{2}$秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③④
• C． ③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①正确．根据图中的信息，求出BE、AD的值即可判断．
②正确．根据SAS即可判断．
③错误．求出BE+DE+CD的值，可知点P运动了22秒．
④错误．当t=$\frac{27}{2}$秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，由此即可判断．

解答 解：察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6，
∴BE=BC，故①正确，
如图1中，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处，

在△ABE与△PQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=PB=6}\\{∠1=∠2}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△PQB（SAS），故②正确，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BE+DE+DC=10+4+8=22，
∴点P运动了22秒，故③错误，
当t=$\frac{27}{2}$秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，
∴△ABE与△QBP不相似，故④错误．
∴①②正确，
故选A．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图中信息，利用信息解决问题，属于中考压轴题．