已知直线y=kx+b.与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2相交于B.C两点．(1)如图1.当点C的横坐标为1时.求直线BC的解析式,的条件下.点M是直线BC上一动点.过点M作y轴的平行线.与抛物线交于点D.是否存在这样的点M.使得以M.D.O.F为顶点的四边形为平行四边形?若存在.求出点M的坐标,若不存在.请说明理由,的直线l∥x轴.BR⊥l于R.CS⊥l于S.连接FR.FS� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²相交于B、C两点．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．-1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

分析（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；
（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，-$\frac{3}{4}$x+1），则D（x，$\frac{1}{4}$x²），表示出DM，分类讨论列方程求解；
（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=$\frac{1}{2}$∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．

解答解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，$\frac{1}{4}$），
又∵直线BC过C、F两点，
故得方程组：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$
解之，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+1；

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，
设M（x，-$\frac{3}{4}$x+1），则D（x，$\frac{1}{4}$x²），
∵MD∥y轴，
∴MD=-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²，
由MD=OF，可得|-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²|=1，
①当-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²=1时，
解得x₁=0（舍）或x₁=-3，
所以M（-3，$\frac{13}{4}$），
②当-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²，=-1时，
解得，x=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，
所以M（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17+3\sqrt{41}}{8}$）或M（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17-3\sqrt{41}}{8}$），
综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，
M点坐标为（-3，$\frac{13}{4}$）或（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17+3\sqrt{41}}{8}$）或（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17-3\sqrt{41}}{8}$）；

（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，
∵点B（m，n）在抛物线上，
∴m²=4n，
在Rt△BTF中，
BF=$\sqrt{B{T}^{2}+T{F}^{2}}$
=$\sqrt{（n-1）^{2}+{m}^{2}}$
=$\sqrt{（n-1）^{2}+4n}$
=$\sqrt{（n+1）^{2}}$，
∵n＞0，
∴BF=n+1，
又∵BR=n+1，
∴BF=BR．
∴∠BRF=∠BFR，
又∵BR⊥l，EF⊥l，
∴BR∥EF，
∴∠BRF=∠RFE，
∴∠RFE=∠BFR，
同理可得∠EFS=∠CFS，
∴∠RFS=$\frac{1}{2}$∠BFC=90°，
∴△RFS是直角三角形．