Question

18．如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为$\sqrt{3}$．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角知∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA；
（2）连接AE．由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直径对的圆周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．则DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．

（2）解：连接AE．
由（1）得△CDE∽△CBA，
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
在Rt△AEC中，
∵∠C=60°，
∴∠CAE=30°；
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$，即DE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的性质等知识的综合应用能力．