Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC中点A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），在x轴正半轴中有一个点D（1，0），连结BD，问：
（1）△ABC是

 

三角形；
（2）在坐标轴上找一个点P，使得以B、D、P为顶点的△BDP与△ABC相似，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）根据坐标可求得AB、AC、BC的长度，再利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）分点P在x轴上时，只能在点D的左侧有∠BPD=90°或∠PBD=90°，点P在y轴上时，只能在B点的下方，同理分两种情况，再利用对应边成比例可求得其坐标．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB²=3²+3²=18，AC²=（-1+3）²+4²=20，BC²=（-1）²+（4-3）²=2，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：直角；
（2）∵△ABC为直角三角形，
∴当△BDP与△ABC相似时，△BDP为直角三角形，且BD=

10

，
当P点在x轴上时，设P点坐标为（x，0），根据题意可知P点只能在D点的左侧，所以PD=1-x，此时有两种情况：
①当∠BPD=90°时，则有∠PBD=∠CAB，∴

PD

BC

=

BD

AC

，即

1-x

2

=

10

20

，解得x=0，此时P点为（0，0）；
②当∠PBD=90°时，则有∠PDB=∠C，∴

PD

AC

=

BD

BC

，即

1-x

20

=

10

2

，解得x=-9，此时P点为（0，0）；
当P点在y轴上时，设P点坐标为（0，y），根据题意可知P点只能在B点下方，所以PB=3-y，此时有两种情况：
①当∠BPD=90°时，则有∠PBD=∠CAB，∴

PB

AB

=

BD

AC

，即

3-y

18

=

10

20

，解得y=0，此时P点为（0，0）；
②当∠PDB=90°时，则有∠PBD=∠CAB，∴

PB

AC

=

BD

AB

，即

3-y

20

=

10

18

，解得y=-

1

3

，此时P点为（0，

1

3

）；
综上可知P点的坐标为：（0，0）或（-9，0）或（0，-

1

3

）．
故答案为：（0，0）或（-9，0）或（0，-

1

3

）．

点评：本题主要考查相似三角形的性质和勾股定理逆定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论及方程思想的应用．