题目内容
在矩形ABCD中，P为AB上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求证：PE+PF为定值．考点：矩形的性质
专题：
分析：通过相似三角形：△BFP∽△DCB、△AEP∽△CDA的对应边成比例求得PE、PF的值，然后利用矩形的对边相等、对角线相等的性质进行证明．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD=BC，
∵∠FBP=∠CDB，∠BFP=∠DCB=90°．
∴△BFP∽△DCB．
∴
=
，则PF=
．
同理，证得△AEP∽△CDA，则
=
，则PE=
．
∴PE+PF=
+
=
=
=
．
∵AB、BC为定值，则BD为定值，
∴PE+PF=
为定值．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AD=BC，
∵∠FBP=∠CDB，∠BFP=∠DCB=90°．
∴△BFP∽△DCB．
∴
| PF |
| BC |
| BP |
| BD |
| BP•BC |
| BD |
同理，证得△AEP∽△CDA，则
| PE |
| AD |
| AP |
| CA |
| AP•AD |
| CA |
∴PE+PF=
| BP•BC |
| BD |
| AP•AD |
| CA |
| BP•BC+AP•AD |
| BD |
| (BP+AP)•BC |
| BD |
| AB•BC |
| BD |
∵AB、BC为定值，则BD为定值，
∴PE+PF=
| AB•BC |
| BD |
点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
练习册系列答案
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