Question

如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+

1

2

∠BAC．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：证明题

分析：连接AP，且延长至G，推出点P是△ABC三角平分线的交点，求出∠CAG=∠BAG=

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2

∠BAC，∠ACP=

1

2

∠ACB，∠ABP=

1

2

∠ABC，求出∠CPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠BC），根据∠BPC=∠CPG+∠BPG代入求出即可．

解答：证明：连接AP，且延长至G，
∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，
∴点P是△ABC三角平分线的交点，
∴AP平分∠BAC，
∴∠CAG=∠BAG=

1

2

∠BAC，
∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，
∴∠ACP=

1

2

∠ACB，∠ABP=

1

2

∠ABC，
∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠ACB），
∠BPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠BC），
∴∠BPC=∠CPG+∠BPG
=

1

2

（∠BAC+∠ACB）+

1

2

（∠BAC+∠ABC）
=∠BAC+

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC．

点评：本题考查了角平分线性质和定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．