Question

19．如图，在菱形ABCD中，AD=4，∠DAB=60°，P是AD的中点，M是对角线AC上的任意点，则PM+MD的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 找出D点关于AC的对称点B，连接PB交AC于M，此时MP+MD最小，且PB就是PM+MD的最小值，求出PB即可．

解答 解：连接PB交AC于M，连接DM，DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴线段AC、BD互相垂直平分，
∴B、D关于AC对称，则MD=MB，
∴PM+MD=PM+BM=PB，
即PB就是PM+MD的最小值．
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AP=PD，
∴PB⊥AD（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt△BDP中，BD=AD=4，PD=2
∴PB=$\sqrt{B{D}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PM+MD的最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查轴对称、最短路线问题、菱形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，确定点M的位置是解答本题的关键．