Question

2．如图①，在△ABC中，AB=BC=6cm，O为AC边上一点，且OA=OB=OC，点D射线AB上一点，连接OD，过点O作OE⊥OD，交射线BC于点E．
（1）若点D在线段AB上，OD与OE相等吗？请说明理由．
（2）四边形ODBE的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出四边形ODBE的面积．
（3）AD=3时，△AOD≌△COE．
（4）如图②，若点D在线段AB的延长线，OD与OE相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论OD=OE．只要证明△OBD≌△OCE即可；
（2）由△OBD≌△OCE，推出S_△OBD=S_△OCE，推出S_{四边形ODBE}=S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC即可解决问题；
（3）当AD=3时，易证AD=BD=BE=CE，△AOD≌△COE；
（4）结论：OD=OE．只要证明△OBD≌△OCE即可；

解答 解：（1）如图①中，结论：OD=OE．理由如下：

∵OA=OB=OC，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∵BA=BC，∠C=∠A=∠ABO=45°，OA=OC，
∴BO⊥AC，∵OE⊥OD，
∴∠BOC=∠DOE=90°，
∴∠DOB=∠EOC，
∵OB=OC，∠OBD=∠C，
∴△OBD≌△OCE，
∴OD=OE．

（2）四边形ODBE的面积不变．
理由：∵△OBD≌△OCE，
∴S_△OBD=S_△OCE，
∴S_{四边形ODBE}=S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×6=9（cm²），
∴四边形ODBE的面积不变．

（3）当AD=3时，易证AD=BD=BE=CE，△AOD≌△COE．
故答案为3．

（4）如图2中，结论：OD=OE．理由如下：

∵OA=OB=OC，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∵BA=BC，∠ACB=∠A=∠ABO=45°，OA=OC，
∴BO⊥AC，∵OE⊥OD，
∴∠BOC=∠DOE=90°，
∴∠DOB=∠EOC，
∵OB=OC，∠OBD=∠OCE=135°，
∴△OBD≌△OCE，
∴OD=OE．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、四边形面积问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．