Question

11．定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）×（3-4i）=5-3i．
（1）填空：i³=-i，i⁴=1；
（2）计算①（3+i）（3-i）；②（5-2i）²；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须完全相等，完成下列问题：已知：（x+y）-3i=（1-x）+yi，（x，y为实数），求x，y的值；
（4）试一试：请将$\frac{2-i}{2+i}$化简成a+bi的形式．

Answer 1

分析 （1）把i²=-1代入求出即可；
（2）①先根据平方差公式进行计算，再把i²=-1代入求出即可；
②先根据完全平方公式进行计算，再把i²=-1代入求出即可；
（3）根据两个复数相等的定义得出方程组，求出方程组的解即可；
（4）根据分子和分母都乘以2-i，再进行计算即可．

解答 解：（1）i³=i²•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，
故答案为：-i，1；

（2）①（3+i）（3-i）
=9-i²
=9-（-1）
=10；
②（5-2i）²
=25-20i+4i²
=25-20i+4×（-1）
=21-20i；

（3）（x+y）-3i=（1-x）+yi，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-x}\\{y=-3}\end{array}\right.$
解得：x=2，y=-3；

（4）$\frac{2-i}{2+i}$
=$\frac{（2-i）^{2}}{（2+i）（2-i）}$
=$\frac{4-4i+{i}^{2}}{4-{i}^{2}}$
=$\frac{4-4i+（-1）}{4-（-1）}$
=$\frac{5-4i}{5}$
=1-0.8i．

点评 本题考查了复数，整式的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力，难度适中．