Question

19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为点E，点F．
（1）求证：BE=DF．
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠B=∠D，然后利用AAS定理证明△ABE≌△CFD可得BE=DF；
（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再利用等式的性质证明AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．

解答 证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠AEB=∠CFD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFD（AAS），
∴BE=DF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
由（1）得：BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行四边形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．