Question

5．如图，△ABC内接于圆，∠BCA外角的平分线CD交该圆于点D，F为弧AD上一点，连接并延长DF与BA的延长线交于点E．连结BD，AF．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若BC=AF，弧DF的度数为80°，求∠E的度数．

Answer 1

分析 （1）由CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（2）由在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△DCA∽△FAE，得到∠E=∠DAC．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF=40°，CD=DF，
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE．
在△DCA与△FAE中，
∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△DCA∽△AFE，
∴∠E=∠DAC=40°．

点评 本题主要考查三角形外接圆和外心的概念，掌握圆内接四边形、相似三角形的性质和判定、圆周角定理等知识点是证此题的关键．