Question

1．如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．
（1）求证：△ADP∽△ABE；
（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）延长AD、EP交于点M．设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，想办法求出AM、EB，由AM∥EB，得$\frac{AF}{FB}$=$\frac{AM}{EB}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，
∴△ADP∽△ABE．

（2）解：如图，延长AD、EP交于点M．
∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，
∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，
∵△ADP∽△ABE，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{EB}$，
∴$\frac{4a}{6a}$=$\frac{2a}{EB}$，
∴EB=3a，
∵DM∥EC，
∴$\frac{DM}{EC}$=$\frac{DP}{PC}$，
∴$\frac{DM}{7a}$=$\frac{2a}{4a}$，
∴DM=$\frac{7}{2}$a，AM=$\frac{15}{2}$a，
∵AM∥EB，
∴$\frac{AF}{FB}$=$\frac{AM}{EB}$=$\frac{\frac{15}{2}a}{3a}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查矩形的性质．相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等 知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．