题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3
，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CQP的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；
（3）①求y与x之间的函数关系式；
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
．
【答案】分析：（1）由于PQ与BD平行，∠CQP=∠CDB，因此只需求出∠CDB的度数即可．可在直角三角形ABD中，根据AB，AD的长求出∠ABD的度数，由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度数；
（2）当R在AB上时，三角形PBR为直角三角形，且∠BPR=60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR=CP=x，然后用x表示出BP的长，在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值；
（3）①要分两种情况进行讨论：
一、当R在AB或矩形ABCD的内部时，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度数，可用CP即x的值表示出CQ的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y，x的函数关系式；
二、当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，它的面积=△CQR的面积-△REF的面积．△CQR的面积在一已经得出，关键是求△REF的面积，首先要求出的是两条直角边RE，RF的表达式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长，即可通过RP-PF得出RF的长；在直角三角形REF中，∠RFE=∠PFB=30°，可用其正切值表示出RE的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积．进而得出S与x的函数关系式；
②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意．
解答：
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．
又AB=9，AD=3
，∠C=90°，
∴CD=9，BC=
．
∴tan∠CDB=
，
∴∠CDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°；
（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP．
由（1）知∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP．
∵CP=x，
∴PR=x，PB=
-x．
在△RPB中，根据题意得：2（
-x）=x，
解这个方程得：x=2
；
（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
，
，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴当0＜x≤
时，
当R在矩形ABCD的外部时（如图2），
，
在Rt△PFB中，
∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（
-x），
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6
，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
x-6．
∴S△ERF=
ER×FR=
x2-18x+18
，
∵y=S△RPQ-S△ERF，
∴当
时，y=
x2+18x-18
．
综上所述，y与x之间的函数解析式是：
．
②矩形面积=
，
当
时，函数
随自变量的增大而增大，
所以y的最大值是
，而矩形面积的
的值=
，
而
，所以，当
时，y的值不可能是矩形面积的
；
当
时，根据题意，得：
，
解这个方程，得
，
因为
，
所以
不合题意，舍去．
所以
．
综上所述，当
时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的
．
点评：本题结合了矩形的性质以及折叠的性质考查了二次函数的综合应用，要注意的是（3）中要根据R点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．
（2）当R在AB上时，三角形PBR为直角三角形，且∠BPR=60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR=CP=x，然后用x表示出BP的长，在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值；
（3）①要分两种情况进行讨论：
一、当R在AB或矩形ABCD的内部时，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度数，可用CP即x的值表示出CQ的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y，x的函数关系式；
二、当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，它的面积=△CQR的面积-△REF的面积．△CQR的面积在一已经得出，关键是求△REF的面积，首先要求出的是两条直角边RE，RF的表达式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长，即可通过RP-PF得出RF的长；在直角三角形REF中，∠RFE=∠PFB=30°，可用其正切值表示出RE的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积．进而得出S与x的函数关系式；
②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意．
解答：
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC．
又AB=9，AD=3
，∠C=90°，∴CD=9，BC=
．∴tan∠CDB=
，∴∠CDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°；
（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP．
由（1）知∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP．
∵CP=x，
∴PR=x，PB=
-x．在△RPB中，根据题意得：2（
-x）=x，解这个方程得：x=2
；（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
，
，∵△RPQ≌△CPQ，
∴当0＜x≤
时，
当R在矩形ABCD的外部时（如图2），
，在Rt△PFB中，
∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（
-x），又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6
，在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
x-6．∴S△ERF=
ER×FR=
x2-18x+18
，∵y=S△RPQ-S△ERF，
∴当
时，y=
x2+18x-18
．综上所述，y与x之间的函数解析式是：
．②矩形面积=
，当
时，函数
随自变量的增大而增大，所以y的最大值是
，而矩形面积的
的值=
，而
，所以，当
时，y的值不可能是矩形面积的
；当
时，根据题意，得：
，解这个方程，得
，因为
，所以
不合题意，舍去．所以
．综上所述，当
时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的
．点评：本题结合了矩形的性质以及折叠的性质考查了二次函数的综合应用，要注意的是（3）中要根据R点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．
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