Question

20．计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{100{4}^{2}}{2007×2009}$．

Answer 1

分析 归纳总结得到规律$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），然后令n=1，2，…，1004，求出之和即可得到结果．

解答 解：∵$\frac{8{n}^{2}}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{8{n}^{2}}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{2（4{n}^{2}-1）+2}{4{n}^{2}-1}$=2+$\frac{2}{（2n+1）（2n-1）}$=2+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
令上式中n=1，2，3，…，1004，并求和，
得原式=$\frac{1}{4}$×1004+$\frac{1}{8}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2009}$）=251+$\frac{1}{8}$×$\frac{2008}{2009}$=251$\frac{251}{2009}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，将原式进行适当的变形是解本题的关键．