Question

20．在一次户外拓展训练中，小明攀到一个高为10米的高地A处（如图）看到悬崖顶部O的仰角为30°，利用挂在悬崖顶部的绳索，划过90°到达高为3米的平台B处，求绳索OA的长度和小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.01米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 如图，作AP⊥OM、BQ⊥OM，可得AC=PM=10、BD=QM=3、PQ=PM-QM=7，设OA=x，可得OP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$x、AP=OAcos∠OAP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，证△AOP≌△BOQ得AP=OQ，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+7，解之可得x的值；由MN=OP+PM-OQ可得答案．

解答 解：如图，作AP⊥OM于点P、BQ⊥OM于点Q，

则AC=PM=10、BD=QM=3，
∴PQ=PM-QM=7，
设OA=x，
∵∠OAP=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$x、AP=OAcos∠OAP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠OAP+∠AOP=90°、∠AOP+∠BOQ=90°，
∴∠OAP=∠BOQ，
在△AOP和△BOQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APO=∠OQB=90°}\\{∠OAP=∠BOQ}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOQ（AAS），
∴AP=OQ，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+7，
解得：x=7+7$\sqrt{3}$≈19.12，
即绳索OA的长度约为19.12米；
MN=OP+PM-OQ=$\frac{1}{2}$x+10-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$x+10=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$×7（1+$\sqrt{3}$）+10=3．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．