Question

1．如图，点C是以AB为直径的圆周上一点，CD⊥AB于点D，已知AD=1，DB=3，现将三角形ABC绕顶点C逆时针旋转，当顶点A的对应点A′落在边AB的起始位置上即停止转动，则点B转过的路径长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AC=2，接着根据勾股定理计算出BC=2$\sqrt{3}$，余弦定义可得到∠A=60°，然后根据旋转的性质得CA=CA′，∠ACA′=∠BCB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′=60°=∠BCB′=60°，最后利用弧长公式计算$\widehat{BB′}$的长度即可．

解答 解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AC}{1+3}$=$\frac{1}{AC}$，
∴AC=2，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，

在Rt△ACD中，∵cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°，
∵顶点A的对应点A′落在边AB的起始位置上，
∴CA=CA′，∠ACA′=∠BCB′，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴$\widehat{BB′}$的长度=$\frac{60•π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
即点B转过的路径长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是求出旋转角．