Question

19．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP=CQ，设PQ与AC相交于点D．
（1）当∠DQC=30°时，求AP的长．
（2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出∠QPB=90°，关键含30度角的直角三角形性质求出BP=$\frac{1}{2}$BQ，代入求出即可；
（2）结论：DE=AE+CD．求出AE=EF，证△PFD≌∠QCD，推出DF=CD，即可得出答案；

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6，∠B=60°，
∵∠DQC=30°，
∴∠QPB=90°，
∴BP=$\frac{1}{2}$BQ，
设AP=CQ=a，
则6-a=$\frac{1}{2}$（6+a），
a=2，
即AP=2；

（2）结论：DE=AE+CD
理由：过P作PF∥BC交AC于F，
则∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴AP=AF=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵PE⊥AC，AP=PF，
∴AE=EF，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=?DCQ，
在△PFD和△QCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDP=∠CDQ}\\{∠PFD=∠QCD}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴DF=CD，
∴DE=EF+DF=AE+CD．

点评 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．