Question

5．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE．
（2）若∠DBC=30°，AB=4，求△BED的周长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；
（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后求出DE，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，
∵∠DBC=30°，BD=BE，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，
∴△BED的周长=BD+BE+DE=8+8+8=24．．

点评 本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．