Question

15．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5
①求证：AF⊥BD  ②求AF的长度；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
②根据勾股定理求出BD，利用△ABD的面积的两种表示方法，即可解答；
（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．

解答 （1）①证明：如图1，

在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=9{0}^{°}}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．
②∵∠ECD=90°，BC=AC=12，DC=EC=5，
∴BD=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$BD•AF，
即$\frac{1}{2}×17×12=\frac{1}{2}×13•AF$
∴AF=$\frac{204}{13}$．
（2）证明：如图4，

∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE≌△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，
∵S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CN，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△BCD，得到三角形的面积相等，对应边相等．