Question

5．已知一条抛物线与y轴的交点为C（0，3），顶点为D（3，6），直线l经过C、D．
（1）求这条抛物线和直线l的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在点B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙M，请你判断直线l与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-3）²+6，再把C点坐标代入可求出a，从而得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题求出A点和B点坐标，则即可得到AB的长；
（3）设直线y=x+3与x轴交于点E，连结MC，先分别确定E点、M点的坐标，计算出圆的半径，再证明MC⊥CE且CE⊥MC，从而可判断CD为⊙M的切线．

解答 解：（1）设抛物线为y=a（x-3）²+6，
把C（0，3）代入得3=a（0-3）²+6，解得a=-$\frac{1}{3}$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+6，即y=-$\frac{1}{3}$x²+2x+3；
设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），D（3，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线l的解析式为y=x+3；
（2）令y=0，即-$\frac{1}{3}$x²+2x+3=0，解得x₁=3-3$\sqrt{2}$，x₂=3+3$\sqrt{2}$，
则A（3-3$\sqrt{2}$，0），B（3+3$\sqrt{2}$，0），
所以AB=3+3$\sqrt{2}$-（3-3$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$；
（3）直线CD与⊙M相切．
∵AB为直径，
∴⊙M的半径为3$\sqrt{2}$，M（3，0），
设直线y=x+3与x轴交于点E，连结MC，如图，
则E（-3，0），ME=6，
∵OE=OC，
∴∠OEC=45°，
∵OC=OM=3，
∴∠OMC=45°，MC=3$\sqrt{2}$，
∴∠MCE=90°，MC为半径，
∴MC⊥CE，
∴直线CD与⊙M相切．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和切线的判定定理；理解抛物线与x轴的交点问题；会利用待定系数法求函数解析式．