Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=

5

2

，D为OC中点，直线y=-2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D．
（1）求此抛物线解析式和顶点P坐标；
（2）求证：∠ODB=∠OAD；
（3）设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N在x轴上，若△AMP与△BND相似，求点N坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用直线解析式求出点A、D，然后求出点C的坐标，根据对称轴求出点B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出∠ODB和∠OAD的正切值，然后根据等角的正切值相等证明；
（3）先求出点M的坐标，再求出∠AMP=∠OBD，然后求出AM、PM、BD，再根据相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论求出BN，再求出ON，最后写出点N的坐标即可．

解答：（1）解：∵直线y=-2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，
∴A（1，0），D（0，2），
∵D为OC中点，
∴C（0，4），
∵A（1，0），对称轴为直线x=

5

2

，
∴B（4，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C点，
∴

a+b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=1 b=-5 c=4

，
∴此抛物线的解析式为y=x²-5x+4，
顶点P的坐标为（

5

2

，-

9

4

）；

（2）证明：在Rt△AOD和Rt△ACD中，∠DOB=90°，
∴tan∠ODB=

OB

OD

=

4

2

=2，tan∠OAD=

OD

OA

=

2

1

=2，
∴∠ODB=∠OAD；

（3）解：∵直线AD与抛物线的对称轴交于点M，对称轴为直线x=

5

2

，
∴M（

5

2

，-3），
∵∠ODB=∠OAD，
∴∠ADO=∠OBD，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠ADO=∠AMP，
∴∠AMP=∠OBD，
∵AM=

( 5 2 -1)2+32

=

3 5

2

，PM=-

9

4

-（-3）=

3

4

，BD=

22+42

=2

5

，
∴N点在点B左侧，可有△AMP∽△DBN或△AMP∽△NBD，
∴

AM

DB

=

PM

BN

或

AM

BN

=

PM

BD

，
∴

3 5 2

2 5

=

3 4

BN

或

3 5 2

BN

=

3 4

2 5

，
解得BN=1或BN=20，
∴ON=4-1=3或ON=20-4=16，
∴N（3，0）或（-16，0）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）要分情况讨论．