Question

已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是AC边上的中线，AH⊥BD于H，与BC交于点E，FC⊥AC交AE的延长线于F．
（1）求证：BD=AF．
（2）连接DF，求证：EC垂直平分DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）易证∠CAF=∠ABD，即可证明△ACF≌△BAD，可得BD=AF；
（2）根据△ACF≌△BAD可得CF=AD，即可证明△CDF是等腰三角形，易证CE平分∠ACF，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠CAF+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABD=90°，
∴∠CAF=∠ABD，
∵在△ACF和△BAD中，

∠CAF=∠ABD AB=AC ∠BAD=∠ACF=90°

，
∴△ACF≌△BAD，（ASA）
∴BD=AF；
（2）∵△ACF≌△BAD，
∴CF=AD，
∵BD是AC边上的中线，
∴CF=AD=CD，
∴△CDF是等腰三角形，
∵∠ACB=45°，
∴∠ECF=45°，
∴CE平分∠ACF，
∴EC垂直平分DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACF≌△BAD是解题的关键．