Question

如图，已知点O是△ABC的外心，弦CM⊥AB，CN是直径，点F是

AB

的中点．求证：
（1）

AN

=

MB

；
（2）CF平分∠NCM．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）连接OF，根据垂径定理求出OF⊥AB，推出CM∥OF，推出∠MCF=∠NCF=∠OFC，根据圆周角定理得出即可；
（2）连接OF，根据垂径定理求出OF⊥AB，推出CM∥OF，推出∠MCF=∠NCF=∠OFC，即可得出答案．

解答：证明：（1）连接OF，
∵F为弧AB的中点，
∴弧AF=弧BF，OF⊥AB，
∵CM⊥AB，
∴CM∥OF，
∴∠MCF=∠OFC，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠MCF=∠OCF，
∴弧FN=弧FM，
∴

AN

=

MB

；

（2）∵连接OF，
∵F为弧AB的中点，
∴弧AF=弧BF，OF⊥AB，
∵CM⊥AB，
∴CM∥OF，
∴∠MCF=∠OFC，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠MCF=∠OCF，
即CF平分∠NCM．

点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出∠MCF=∠NCF=∠OFC．