Question

12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC上一点，且CE⊥BD于点E，CE=$\frac{1}{2}$BD，求证：BD平分∠ABC．

Answer 1

分析 延长BA、CE交与点F，根据等角的余角相等求出∠ACF=∠ABD，再利用“角边角”证明△ADB≌△AFC；可得BD=CF，利用“SAS”证明△BCE和△BEF全等，根据全等三角形得出∠CBE=∠FBE即可．

解答 证明：如图，

∵BE⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ACE+∠F=180°-90°=90°，
∠ABE+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACF=∠ABD，
在△ADB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠FAC=90°}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ACF（ASA）；
∴BD=CF，
∵CE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$CF，
∴CE=EF，
在△BCE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EF}\\{∠BEC=∠BEF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（SAS），
∴∠CBE=∠FBE，
∴BD平分∠ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法，正确作出辅助线，并准确识图是解题的关键．