Question

2．已知：如图，CA=CB，且CA⊥CB，以AC为直径作半圆⊙O，点D为半圆⊙O上的一点，BD=BC，连接OB，交线段CD于点P．
（1）求证：DP=PC；
（2）连接AP，求tan∠OAP的值．

Answer 1

分析 （1）证明△OBC≌△OBD，则∠DBO=∠CBO，根据三线合一定理即可证明；
（2）作PE⊥AC于点E，利用面积公式求得PC，然后利用面积公式求得PE，再直角△OPE中利用勾股定理求得OE，则AE即可求得，利用三角函数定义求解．

解答 解：（1）连接OD．
在△OBC和△OBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{OD=OC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OBD，
∴∠DBO=∠CBO，
又∵BD=BC，即△BCD是等腰三角形，
∴DP=PC；
（2）作PE⊥AC于点E．
设半径是r，则OC=r，BC=2r，
在直角△OBC中，OB=$\sqrt{{r}^{2}+（2r）^{2}}$=$\sqrt{5}$r．
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$OC•BC=$\frac{1}{2}$OB•PC，
∴PC=$\frac{OC•BC}{OB}$=$\frac{r•2r}{\sqrt{5}r}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$r．
同理OP=$\sqrt{O{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}r）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$r．
PE=$\frac{OP•PC}{OC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}r•\frac{2\sqrt{5}}{5}r}{r}$=$\frac{2}{5}$r．
在直角△OPE中，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{5}r）^{2}-（\frac{2}{5}r）^{2}}$=$\frac{1}{5}$r．
则AE=r+$\frac{1}{5}$r=$\frac{6}{5}$r．
则tan∠OAP=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{\frac{2}{5}r}{\frac{6}{5}r}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的定义以及等腰三角形的性质，正确理解三角函数的定义，正确作出辅助线是关键．