Question

9．如图，?ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，∠B=135°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是$\sqrt{13}$-1．

Answer 1

分析 根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．

解答 解：如图所示：以M为圆心，AM的长为半径画弧．连接MC，交弧MC于点A'．此时A'C的值最小．
过点M，作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=135°，
∴∠ADC=135°，
∴∠EMD=∠EDM=45°．
∵M是AD的中点，AD=BC=2．
∴AM=MD=A'M=1．
在直角△MED中，由勾股定理得ME=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CE=DE+CD=DE+AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2$\sqrt{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
在直角△MEC中，由勾股定理得CM=$\sqrt{13}$，
∴A'C=CM-A'M=$\sqrt{13}$-1．
故答案是：$\sqrt{13}$-1．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．