Question

12．已知抛物线经过A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为4．

Answer 1

分析 根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可．

解答 解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
将B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=$\frac{1}{2}$，
则抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2）=$\frac{1}{2}$x²+x-4；
过M作MN⊥x轴，设M的横坐标为m，则M（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），
∴MN=|$\frac{1}{2}$m²+m-4|=-$\frac{1}{2}$m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×（4+m）×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×（-m）×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4+4）-$\frac{1}{2}$×4×4
=2（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
当m=-2时，S取得最大值，最大值为4．
故答案为4．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．