Question

【题目】如图1，直线AB交x轴于点A（4 ，0），交y轴于点B（0 ，4），

（1）如图，若C的坐标为（-1, ，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；

（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值.

Answer 1

【答案】（1）P（0 ，1）；（2）证明见解析；（3）4.

【解析】试题分析：（1）利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出结论；
（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，证出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得结论；
（3）连接OD，则OD⊥AB，证得△ODM≌△ADN，利用三角形的面积进一步解决问题．

试题解析：（1）由题得，OA=OB=4.

∵AH⊥BC于H，

∴∠OAP＋∠OPA=∠BPH＋∠OBC=90°，

∴∠OAP=∠OBC

在△OAP和△OBC中，

∴△OAP≌△OBC（ASA），

∴OP=OC=1，则点P（0 ，1）.

（2）过点O分别作OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，

在四边形OMHN中 ，∠MON=360°-3×90°=90°，

∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP.

在△COM和△PON中，

，

∴△COM≌△PON（AAS），

∴OM=ON，

∵HO平分∠CHA，

∴；

(3) 的值不发生改变， .

理由如下：

连结OD，则OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，∠OAD=45°，

∴OD=AD，

∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA，

在△ODM和△AND中，

，

∴△ODM≌△AND（ASA），

∴

∴，

∴