Question

8．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB=BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？
（3）在（2）的条件下，若EC⊥BF，EC=3，求点E到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论；
（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，得到∠ABE=∠FBE，根据角平分线的性质即可得到结果．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC，
∵在△ADE与△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ECF}\\{DE=EC}\\{∠AED=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD；

（2）由（1）知△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF，
∵AB=BC+AD，
∴AB=BC+CF，
即AB=BF，在△ABE与△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BF}\\{AE=EF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE，
∴∠AEB=∠FBE=90°，
∴BE⊥AE；

（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，
∴∠ABE=∠FBE，∴E到BF的距离等于E到AB的距离，
∵CE⊥BF，CE=3，
∴点E到AB的距离为3．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．