Question

8．如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．
（1）求证：DP=DB；
（2）求证：DA+DB=DC；
（3）若等边△ABC边长为$\sqrt{14}$，连接BH，当△BDH为等边三角形时，请直接写出CP的长度．

Answer 1

分析 （1）首先由等边三角形的性质易得AB=AC=BC，由垂直平分线的性质易得AP=AC，等量代换可得AP=AB，由SAS定理可证得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）在CP上截CQ=PD，证明△ACQ≌△APD，等量代换，证得△ADQ为等边三角形，得出结论；
（3）连接BH，延长AD交PB于E，根据PA=AB，AD是角平分线得出AE⊥PB，且平分PB，由△BDH为等边三角形，PD=BD，易得出BD=DH=BH，∠BPH=30°，解直角三角形得出DE=$\frac{1}{2}$PD，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD，因为PD=$\frac{1}{4}$PC，AD+DB=DC，得出AD=HC=$\frac{1}{2}$PC，进而得出PE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC，AE=$\frac{5}{8}$PC，然后根据勾股定理得出（$\sqrt{14}$）²=（$\frac{5}{8}$PC）²+（$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC）²，即可求得PC的长．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵AH垂直平分PC，
∴AP=AC，
∴AP=AB，
在△PAD与△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DA}\\{∠PAD=∠BAD}\\{AP=AB}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△BAD（SAS），
∴DP=DB；

（2）证明：如图1，在CP上截CQ=PD，
∵AP=AC，
∴∠APD=∠ACQ，
在△ACQ与△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{∠APD=∠ACQ}\\{PD=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△APD（SAS），
∴∠PAD=∠CAQ，
∵∠PAD=BAD，
∴∠CAQ=∠BAD，
∴∠CAQ+∠BAQ=∠BAD+∠BAQ=∠DAQ=60°，
∵AD=AQ，PD=CQ=DB，
∴△ADQ为等边三角形，
∴DA=DQ，
∴DA+DB=DQ+CQ=CD；
（3）解：如图2，连接BH，延长AD交PB于E，
∵△BDH为等边三角形，
∴BD=DH=BH，∠BHD=60°，
∵DP=DB，
∴DP=DB=DH=BH，
∴BH=$\frac{1}{2}$PH，
∴△PBH是直角三角形，
∴∠BPH=30°，
∵AD是∠PAB的平分线，PA=AB，
∴AD⊥PB，
∴DE=$\frac{1}{2}$PD，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD，
∵PD=DH=DB，PH=CH，AD+DB=DC，
∴PD=DH=$\frac{1}{4}$PC，AD=CH=$\frac{1}{2}$PC，
∴DE=$\frac{1}{8}$PC，PE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC，
∴AE=AD+DE=$\frac{1}{2}$PC+$\frac{1}{8}$PC=$\frac{5}{8}$PC，
在RT△PAE中，PA²=AE²+PE²，
∴（$\sqrt{14}$）²=（$\frac{5}{8}$PC）²+（$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC）²，
∴PC=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形和直角三角形是解题的关键．