Question

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，以DB为直径的⊙O与AC相切于点E，与BC相交于点F，FN⊥BE交⊙O于点N．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若sinA=$\frac{2}{3}$，AB=30，求圆心O到EN的距离．

Answer 1

分析 （1）如图连接OE，根据切线的性质OE⊥AC，即可证得OE∥BC，进一步得到∠EBC=∠OBE，即可证得结论；
（2）解直角三角形求得BC=20，通过证得Rt△EBC≌Rt△EBF，得出BF=BC=20，设OF=h，则OB=20-h，OA=10+h，解直角三角形得到关于h的方程，解方程即可求得．

解答 （1）证明：如图连接OE，
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠EBC，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠EBC=∠OBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：设EN与AB的交点为F，
∵sinA=$\frac{2}{3}$，AB=30，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=20，
∵BE平分∠ABC，OE⊥AC，∠C=90°，
∴EC=EF，
在Rt△EBC和Rt△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴Rt△EBC≌Rt△EBF（HL），
∴BF=BC=20，
∴AF=30-20=10，
设OF=h，则OB=20-h，OA=10+h，
∵OE=OB，
∴OE=20-h，
∵sinA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{20-h}{10+h}$=$\frac{2}{3}$，
解得h=8，
∴圆心O到EN的距离为8．

点评 本题考查了切线的性质、垂径定理以及解直角三角形的运用．作出辅助性构建等腰三角形设解题的关键．