Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=

k

x

(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的关系式；
（2）当y₁＞y₂时，利用图象求x的取值范围；
（3）延长BO交第一象限的双曲线于点D，连结AD判断直线AD与AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：计算题

分析：（1）过B作BM垂直于x轴，在直角三角形BOM中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠BOC，根据B的坐标确定出BM的长，进而求出OM的长，确定出B坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，将A坐标代入反比例解析求出m的值，确定出A坐标，将A与B代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用函数图象求出满足题意x的范围即可；
（3）AD⊥AB，理由为：根据题意画出图形，设直线BO解析式为y=px，将B坐标代入求出p的值，确定出直线BO解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，进而分别求出直线AD与直线AB斜率，根据斜率乘积为-1即可得证．

解答：解：（1）过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，
在Rt△BOM中，tan∠BOC=

BM

OM

=

2

5

，
∵B（n，-2），
∴OM=-n，BM=2，
∴n=-5，即B（-5，-2），
将B坐标代入反比例解析式得：k=10，
∴反比例解析式为y₂=

10

x

；
将A（2，m）代入反比例解析式得：m=5，即A（2，5），
将A与B坐标代入一次函数解析式得：

-5a+b=-2 2a+b=5

，
解得：

a=1 b=3

，
则一次函数解析式为y₁=x+3；
（2）∵y₁=x+3，y₂=

10

x

，且y₁＞y₂，A（2，5），B（-5，-2），
∴由图形得：当y₁＞y₂时，x的取值范围为x＞2或-5＜x＜0；
（3）AD⊥AB，理由为：
设直线BO解析式为y=px，
将B（-5，-2）代入得：-2=-5p，即p=0.4，
∴直线BO解析式为y=0.4x，
与反比例解析式联立得：

y=0.4x y= 10 x

，
消去y得：0.4x=

10

x

，
解得：x=5或x=-5（舍去），
将x=5代入反比例解析式得：y=

10

5

=2，
∴D（5，2），
∵直线AD斜率为

2-5

5-2

=-1，直线AB斜率为1，即斜率乘积为-1，
∴AD⊥AB．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，锐角三角函数定义，坐标与图形性质，两直线垂直时斜率满足的关系，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．