Question

3．已知关于x的二次函数y=ax²-4ax+a²+2a-3；
（1）若y在-1≤x≤3的范围内有最小值5，求a的值；
（2）若a＞0，当t-1＜y＜t（t是常数）时求y的最小值u．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-4ax+a²+2a-3=a（x-2）²+（a²-2a-3）可知当a＞0时，最小值是a²-2a-3=5，当a＜0时，x=-1时，y有最小值5，则a+4a+a²+2a-3=5，解关于a的方程即可求得；
（2）因为a＞0时，u=a²-2a-3，u的值与t的取值有关．

解答 解：（1）y=ax²-4ax+a²+2a-3=a（x-2）²+（a²-2a-3），
其对称轴为x=2，
当a＞0时，最小值是a²-2a-3=5，解得a₁=4，a₂=-2（舍去）；
当a＜0时，x=-1时，y有最小值5，则a+4a+a²+2a-3=5，整理得a²+7a-8=0，解得a₁=1（舍去），a₂=-8，
所以a的值为4或-8；
（2）∵a＞0，
∴y的最小值u=a²-2a-3，与t的取值有关．

点评 本题考查了二次函数的最值，注意，只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．